樹欲靜而風不止：股價波動的九成，與公司無關

致新思2026/9/8大約 26 分鐘

引言 · 一條太平靜的線

樹欲靜而風不止，子欲養而親不待。
——《韓詩外傳》卷九

1981 年，Robert Shiller 畫了一張圖，然後金融學吵了三十年。

那張圖上有兩條線。

一條是 1871 到 1979 年標普綜合指數的真實價格。它劇烈起伏：1929 年的頂、1932 年的坑、戰後的爬升、1970 年代的滯脹泥潭。

另一條線，是他自己造出來的。他站在 1979 年回望，把這一百多年裏實際派發過的每一筆股利都記下來，然後折現回每個歷史時點，算出"如果當時的人能夠穿越時空、準確預知未來所有股利，這隻股票在那一刻究竟值多少錢"。他把它記作 $P^*_t$ ——事後完全預知價格。

按照有效市場假說，市場價格就是對這個數的最佳估計。所以兩條線應該貼得很近。

結果是： $P^*_t$ 幾乎是一條平滑上升的曲線。

它沒有 1929 年的頂，沒有 1932 年的坑。因爲美國企業在這一百年裏實際派發的股利，從來沒有出現過任何配得上那種價格波動的劇變。大蕭條最深的時候，標普成分股的實際股利確實腰斬了——但那是一次持續幾年的事件，而股價在三年裏跌掉了 89%。

樹在那裏幾乎沒有動，風卻颳得像要把天掀翻。

Shiller 的問題因此變得非常尖銳：

股票價格的變動是不是太大了，大到無法用後續股利的變動來解釋？

（Do Stock Prices Move Too Much to be Justified by Subsequent Changes in Dividends?）

這篇論文在 2013 年幫他拿到了諾貝爾經濟學獎——和 Eugene Fama、Lars Peter Hansen 一起。那一年的頒獎被戲稱爲"死對頭同臺領獎"，因爲 Fama 用一生證明市場是有效的，而 Shiller 用這張圖證明它不可能有效。

本文要走完這條偵探線：

先立一個定理：爲什麼價格的波動在數學上不該這麼大？
直覺是什麼：爲什麼折現天生就是一臺"抹平機器"？
這個謎差點被證僞——那場持續七年的計量官司到底在吵什麼？
誰終結了它，用的什麼工具？
兇手是誰：現金流，還是折現率？
如果兇手是折現率，"股價下跌"這四個字的意思要改寫嗎？
那陣風到底是什麼——理性的風險，還是人的情緒？
爲什麼這個謎、股權溢價之謎、以及 Hansen 的波動率界限，其實是同一個謎？

一、天氣預報不該比天氣本身更抖

1.1 兩個價格

標準的股利貼現模型（DCF 的教科書形式）說，價格是未來股利的條件期望折現和：

P_t = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{\mathbb{E}_t\left[D_{t+k}\right]}{(1+r)^k}

這是一個關於期望的式子——它出現在等號右邊的是"我們現在以爲未來會怎樣"。

Shiller 的操作是把期望符號拿掉，換成事後真的發生了的那些數：

P^*_t = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{D_{t+k}}{(1+r)^k}

$P^*_t$ 不是任何人在 $t$ 時刻能知道的東西，它只能事後算出來。但它有一個極好的性質：在理性預期下，市場價格恰好是它的條件期望。

P_t = \mathbb{E}_t\left[P^*_t\right]

1.2 三行定理

把 $P^*$ 拆成預測值與預測誤差：

P^*_t = P_t + \epsilon_t

理性預期的全部內容濃縮成一句話：預測誤差不能與你在做預測時已經掌握的任何信息相關。否則你就該用那個信息改進預測。而 $P_t$ 本身正是 $t$ 時刻的已知信息，所以

\operatorname{Cov}(P_t,\, \epsilon_t) = 0

兩邊取方差，交叉項因此消失：

\operatorname{Var}(P^*_t) = \operatorname{Var}(P_t) + \operatorname{Var}(\epsilon_t)

由於方差非負，立刻得到 Shiller 的方差界限：

\boxed{\ \operatorname{Var}(P_t) \;\le\; \operatorname{Var}(P^*_t)\ }

這個不等式漂亮在它幾乎不需要任何假設——不需要知道投資者的效用函數，不需要知道風險偏好，只需要"預測誤差與已知信息正交"這一條。

它的直覺可以用一句話說完：

爲什麼預報必然比實況平靜

明天的氣溫預報，波動幅度不可能大於真實氣溫的波動幅度。

因爲預報是對多種可能情形取的平均，而取平均這個動作本身就在削掉極端值。你只有在完全確定時纔會報出極端數字，而完全確定的時候很少。

一個比被預測對象抖得還厲害的預報，說明預報裏摻進了與被預測對象無關的東西。

1.3 實證：不是差一點，是差一個數量級

Shiller 用 1871–1979 年的標普綜合指數做檢驗。結論不是"略微超出"：

\frac{\sigma(P)}{\sigma(P^*)} \approx 5.6 \quad (\text{標普綜合指數})

換成道瓊斯工業指數，這個比值可以到 13。而定理要求它不超過 1。

同一年，兩篇論文

方差界限檢驗其實是兩組人幾乎同時獨立提出的：Shiller 那篇發在 1981 年 6 月的《美國經濟評論》，而 Stephen LeRoy 與 Richard Porter 的版本發在同年 5 月的《計量經濟學》上。

學界後來習慣把這個檢驗叫作 LeRoy-Porter-Shiller 界限，但 Shiller 的那張圖流傳得更廣——因爲它把一個統計量畫成了一幅任何人都能一眼看懂的畫。

二、折現是一臺抹平機器

方差界限只是一個不等式。要理解它爲什麼"應該"成立得如此輕鬆，需要換一副眼鏡——把折現看成信號處理。

2.1 折現就是加權移動平均

把 $P^*$ 的定義重寫一下，記 $\beta = \frac{1}{1+r} < 1$ ：

P^*_t = \sum_{k=1}^{\infty} \beta^k D_{t+k}

這是一個卷積：輸入信號是股利序列 $\{D\}$ ，卷積核是一個指數衰減窗 $\{\beta^k\}$ 。

在時域上，它是對未來無窮長的股利流做加權平均。在頻域上，它有一個傳遞函數：

H(\omega) = \sum_{k=1}^{\infty}\beta^k e^{i\omega k} = \frac{\beta e^{i\omega}}{1 - \beta e^{i\omega}}

任何做過信號處理的人看到指數衰減窗都會有同一個反應：這是低通濾波器。而低通濾波器的作用是削掉高頻、留下趨勢——輸出應該比輸入更平滑。

2.2 增益到底有多大

把 $r = 5\%$ 代進去，算出各個頻率上的增益：

衝擊的週期	角頻率 $\omega$	增益 $\lvert H(\omega)\rvert$
永久（ $\omega \to 0$ ）	$0$	$\mathbf{20.00}$
100 年	$0.063$	$12.27$
40 年	$0.157$	$5.94$
20 年	$0.314$	$3.08$
10 年	$0.628$	$1.57$
5 年	$1.257$	$0.83$
2 年	$3.142$	$\mathbf{0.49}$

兩端的對比是全文第一個值得記住的數字：

\frac{\text{直流增益}}{\text{最高頻增益}} = \frac{1/r}{\beta/(1+\beta)} \approx \frac{20.0}{0.49} \approx 41

一次永久性的股利變化，會被放大二十倍打進價格；而一次兩年就消失的波動，只剩不到一半。

這就是"股價該是平滑的"這個直覺的數學來源：企業有強烈的股利平滑傾向（利潤腰斬也儘量不砍分紅），輸入信號本身就沒什麼高頻成分；再經過一臺低通濾波器，輸出理應像一條緩緩上升的指數曲線。

2.3 但這個直覺裏埋着一個陷阱

上面那張表其實已經把陷阱寫出來了，只是容易被"低通濾波器"這四個字蓋過去：

它壓制的是高頻，不是所有波動。對永久性的衝擊，它不但不壓制，反而放大二十倍。

這一點非常要緊，因爲它決定了整個檢驗成不成立。

設想兩種世界：

	股利過程	衝擊的性質	$P^*$ 會怎樣
世界 A	圍繞一條確定的指數趨勢線上下波動	暫時的，會迴歸	高頻被濾掉，非常平滑
世界 B	帶漂移的隨機遊走（含單位根）	永久的，不迴歸	直流增益全額傳導，一點都不平滑

Shiller 1981 年的檢驗，做的是世界 A 的假設——他先把股利對一條確定性指數趨勢去趨勢，再計算方差。

如果真實世界是 B 呢？

我跑了一個蒙特卡洛來看這件事有多嚴重：讓股利走隨機遊走，年化增長 2%、波動 6%（都是相當溫和的設定），然後老老實實按定義算出 $P^*$ 的序列。

\sigma\left(\ln P^*\right) \approx 70\%

七成。 一個"平滑"的輸入，經過那臺"抹平機器"，輸出的波動比輸入大了一個數量級。

原因就在那張表的第一行：隨機遊走的每一次衝擊都是永久的，也就是全部落在 $\omega \approx 0$ 的地方，而那裏的增益是 20。

於是 Shiller 的整座大廈出現了一道裂縫： $P^*$ 該有多平滑，完全取決於你假設股利是什麼過程。而這恰恰是一個沒人能直接觀測的東西。

三、這個謎差點被證僞

這道裂縫沒有被浪費。1980 年代中期，一批相信有效市場的學者順着它打了七年。

考慮最簡單的自迴歸過程 $x_t = \phi\, x_{t-1} + \varepsilon_t$ 。參數 $\phi$ 決定一次衝擊能活多久： $\phi = 0.9$ 時衝擊的半衰期約 6.6 年， $\phi = 0.95$ 時約 13.5 年，而 $\phi = 1$ 時永不衰減——那就是隨機遊走。名字來自它的特徵方程 $1 - \phi L = 0$ ： $\phi = 1$ 時，根恰好等於 1。

含單位根的序列有三個連帶性質：沒有均值可回、方差隨時間發散、對遙遠未來的最佳預測就等於今天的值。

它在這裏之所以生死攸關，是因爲衝擊的持久性決定了它落在頻譜的哪一段：衰減的衝擊把能量攤在中高頻，而永久的衝擊把能量全堆在 $\omega \to 0$ ——正是上一節那張表裏增益等於 20 的地方。

把 $\phi$ 代進去算一次單位衝擊對 $P^*$ 的總影響（增益 $=\beta\phi/(1-\beta\phi)$ ）： $\phi = 0.9$ 時是 6.0 倍， $\phi = 0.95$ 時是 9.5 倍， $\phi = 1$ 時是 20 倍。一個參數從 0.95 挪到 1.00， $P^*$ 該有的波動就翻了一倍。

Terry Marsh 與 Robert Merton（對，就是期權定價那個 Merton）在 1986 年的《美國經濟評論》上給出了最狠的一擊。

他們的論證有一個幾乎帶着諷刺意味的結構：

第一步，指出企業的股利政策本身就是"平滑的"——管理層按照他們對長期永久盈利能力的判斷來定分紅，而不是按當期利潤。這是財務學裏被反覆驗證的事實（Lintner 的部分調整模型）。

第二步，那麼股利就會跟着"永久盈利能力"走，而永久盈利能力大致是一個隨機遊走。於是股利必然含單位根。

第三步，一旦股利含單位根， $\operatorname{Var}(P^*)$ 在有限樣本里根本估不準，而且系統性地被低估——方差界限不等式在原假設下就會被"違反"，哪怕市場完全有效。

最諷刺的地方在於：Shiller 用來支撐" $P^*$ 應該平滑"的那個事實（企業平滑股利），被 Marsh-Merton 反手用來證明" $P^*$ 不該平滑"。 同一個觀察，因爲對沖擊持久性的判斷不同，得出了相反的結論。

3.2 終端條件：那條線的尾巴是畫上去的

第二發炮彈更技術，但同樣致命。

計算 $P^*_t$ 需要無窮遠未來的股利。而 Shiller 的數據在 1979 年就斷了。他的做法是給樣本末端假設一個終端價值 $P^*_T$ （用當時的實際價格代替），然後反向遞推：

P^*_t = \frac{P^*_{t+1} + D_{t+1}}{1+r}

這個遞推有一個副作用：它是一個平滑算子，而且是從一個固定端點往回走的。越靠近樣本末端， $P^*$ 越被那個固定的終端值錨住，波動被人爲壓低。

也就是說，那條著名的平滑曲線，它的平滑有一部分是構造方法帶來的。

3.3 於是問題變成了：誰的統計假設更合理

到這一步，"股市是否過度波動"這個宏大問題，已經退化成了一場關於單位根檢驗統計功效的技術泥潭。

而這個泥潭比直覺上更深。我用一百個年度觀測（正好是 Shiller 那份數據的長度）做了一次模擬，看 Dickey-Fuller 檢驗能不能認出一個其實是平穩的序列：

真實的 $\phi$	檢驗拒絕"有單位根"的比例
0.90	$19.3\%$
0.95	$\mathbf{8.5\%}$
0.99	$5.1\%$
1.00（真的是單位根）	$5.2\%$ （這是誤拒率，理論上應爲 $5\%$ ）

看最後兩行： $\phi = 0.95$ 時的檢驗功效是 $8.5\%$ ，而檢驗在真的面對隨機遊走時的誤拒率是 $5.2\%$ 。兩者幾乎沒有差別。

也就是說，一個半衰期十三年、貨真價實平穩的股利過程，和一個真正的隨機遊走，在一百年的年度數據上統計學上無法區分——而這兩個假設對 $P^*$ 方差的預測差了一倍。

這一節想說明的事

Shiller 那張圖有極強的說服力，但說服力不等於證明。它的結論依賴於一個無法直接驗證的輔助假設：股利圍繞確定性趨勢波動。

Marsh-Merton 沒有證明市場是有效的，他們只證明了一件事：用這個方法，你沒法證明市場無效。

如果故事停在 1986 年，"過度波動之謎"大概會以"統計學上不可判定"的方式被歸檔。它沒有停在那裏，是因爲兩年後有人換掉了整個提問方式。

四、把不平穩的東西換成平穩的

1988 年，John Campbell 與 Shiller 合作，給出了現代資產定價裏最具生產力的工具之一。它的思路簡單得像一句廢話：

既然價格和股利都不平穩，那就別研究它們，研究它們的比值。

股息率 $D_t/P_t$ （或者它的對數 $d_t - p_t$ ）是平穩的——一百五十年來它一直在一個有限區間裏來回，從沒有趨勢性地跑掉。整個單位根泥潭，就這樣被繞了過去。

4.1 對數線性化

單期毛回報率的定義沒有任何爭議：

R_{t+1} = \frac{P_{t+1} + D_{t+1}}{P_t}

麻煩在於右邊是個加法，取對數展不開。Campbell 與 Shiller 的做法是在 $\overline{d-p}$ 附近做一階泰勒展開，得到（小寫字母表示對數）：

r_{t+1} \approx k + \rho\, p_{t+1} + (1-\rho)\, d_{t+1} - p_t

其中

\rho = \frac{1}{1+\exp\left(\overline{d-p}\right)} \approx 0.96

$\rho$ 略小於 1，它扮演的角色和前面那個 $\beta$ 一模一樣——一個新的、內生的折現因子。

4.2 恆等式

把上式對 $p_t$ 求解，向前無窮迭代，取條件期望，得到 Campbell-Shiller 恆等式：

p_t - d_t = \frac{k}{1-\rho} + \mathbb{E}_t\left[\sum_{j=0}^{\infty}\rho^{j}\,\Delta d_{t+1+j}\right] - \mathbb{E}_t\left[\sum_{j=0}^{\infty}\rho^{j}\, r_{t+1+j}\right]

這個式子值得盯着看一會兒，因爲它不是一個模型，而是一個恆等式——它由回報率的定義加上一階展開推出，不依賴任何關於理性、效用或均衡的假設。

它說的是：如果今天的估值倍數高於平均水平，那麼在數學上必然至少有一件事成立：

市場預期未來的股利增長 $\Delta d$ 會更快（分子端），或者
市場對未來要求的回報率 $r$ 更低（分母端）

沒有第三種可能。估值倍數的每一次波動，都必須被這兩項之一吸收掉。

於是那個吵了七年的哲學問題，變成了一道可以直接算的會計題：這兩項各佔多少？

五、兇手：現金流一點都不重要

把恆等式兩邊同時對 $p_t - d_t$ 取協方差再歸一化，得到一個方差分解：

1 = \underbrace{\beta_{cf}}_{\text{現金流的貢獻}} \;+\; \underbrace{\beta_{dr}}_{\text{折現率的貢獻}}

John Cochrane 用近百年的美國數據算出的結果，是現代金融學最令人不適的經驗事實之一：

\boxed{\ \beta_{cf} \approx 0, \qquad \beta_{dr} \approx 1\ }

5.1 用迴歸的語言說一遍

這個結論有一個更直白的版本。拿股息率去預測兩件事：

用今天的股息率預測……	結果
未來 5–10 年的股利增長率	係數不顯著， $R^2$ 接近 $0$ 。幾乎沒有預測力
未來 5–10 年的股票收益率	係數顯著， $R^2$ 隨期限拉長而上升到 $0.3$ 以上

也就是說：

當市場變得昂貴時，它並沒有在正確地預告未來的盈利會更好。
它在正確地預告你未來的收益率會更低。

Shiller 的直覺贏了——價格的波動確實不來自基本面。但它贏的方式和他最初設想的不太一樣：不是"價格在亂動"，而是"價格在正確地反映一個不停亂動的折現率"。

5.2 副標題裏那個"九成"

不同的樣本區間與設定下， $\beta_{dr}$ 大致落在 0.9 到 1.1 之間（偶爾略微超過 1，此時 $\beta_{cf}$ 爲小的負數）。

說"九成"是個保守的講法。按字面讀這個分解，答案其實是：股價估值倍數的全部波動，都與公司未來賺多少錢無關。

六、於是"股價下跌"這四個字要重寫

這一節是全文唯一能落到操作層面的地方，而它是上一節的直接推論。

日常語言裏，"股價跌了"幾乎等同於"這家公司（或這個市場）變差了"。 $\beta_{cf}\approx 0$ 說的是：這個等號不成立。

把恆等式倒過來讀。如果 $p_t - d_t$ 下降，而現金流預期那一項紋絲不動，那麼下降的部分必須、且只能被第二項吸收：

p_t - d_t \downarrow \quad\Longrightarrow\quad \mathbb{E}_t\left[\sum \rho^j r_{t+1+j}\right] \uparrow

\textbf{價格下跌} \;\equiv\; \textbf{未來預期收益率上升}

這不是一個投資建議，這是一個恆等式的另一半。它帶來三個直接後果：

第一，市場下跌對不同的人意義完全相反。 對一個明天就要變現的人，它是純粹的壞消息；對一個還要持續買入二十年的人，它意味着往後每一塊錢的預期回報變高了。同一件事，符號相反。

第二，"這次估值高是因爲科技進步/盈利前景好"這類說法，在數據上沒有支撐。 高估值歷史上從未預告過更高的股利增長，只預告過更低的收益率。

第三，均值迴歸有了明確的機制。 估值不是因爲某種神祕的引力迴歸，而是因爲折現率本身是平穩的——它高的時候會回落，低的時候會抬升。Shiller 的 CAPE（週期調整市盈率）之所以對未來十年的收益有約 $0.4$ 的 $R^2$ ，用的正是這個機制。

別把它讀成擇時工具

$R^2 = 0.4$ 聽起來很高，但它是十年期的。折算到單年，預測力低到無法支撐任何交易決策；而且這條關係在整個樣本上只提供了有限次獨立觀測（一百五十年裏只有十幾個不重疊的十年）。

它能告訴你"當前估值水平對應的長期預期回報是多少"，不能告訴你"什麼時候賣"。把它當作長期資產配置的先驗，而不是信號。

關於估值倍數如何被折現率牽引，以及這個牽引在什麼條件下會失效，〈有美玉於斯：估值的方法、機制與振盪的邊界〉那篇講得更細。

七、那陣風到底是什麼

到這裏，所有人都同意了一件事：過度波動的根源是折現率在劇烈變動。

而折現率 $r_t = r_f + \pi_t$ 裏，無風險利率 $r_f$ 的波動相對溫和。所以真正的問題只剩一個：

股票風險溢價 $\pi_t$ 爲什麼會大幅震盪？

對這個問題，2013 年那兩位同臺領獎的人給出了完全相反的答案。

7.1 理性派：風險確實變了

以 Campbell 與 Cochrane 的習慣形成模型爲代表。

它的設定是：人的效用不取決於消費的絕對水平，而取決於消費相對於一個緩慢移動的"習慣水平" $X_t$ 的距離：

u(C_t) = \frac{(C_t - X_t)^{1-\gamma} - 1}{1-\gamma}

關鍵在於分母上那個差。在衰退期，消費 $C_t$ 向習慣 $X_t$ 逼近， $(C_t - X_t)$ 這個"緩衝墊"被壓薄，局部風險厭惡急劇上升——哪怕 $\gamma$ 本身是個溫和的常數。

於是：經濟不好 → 緩衝墊變薄 → 風險厭惡暴漲 → 要求極高的風險溢價 → 折現率跳升 → 估值暴跌。

在這個故事裏，沒有任何人是非理性的。價格的暴跌精確地反映了一個真實的經濟狀態：此刻人們承擔風險的能力真的變差了。

7.2 行爲派：風險沒變，人變了

Shiller 本人走向了另一邊。他的論點是：折現率的數學形式只是給情緒套了一層量化外衣。

現實中的定價者不是在精確計算跨期邊際替代率的代表性個體，而是：牛市裏把最近三年的漲幅線性外推到未來的人，熊市裏恐慌割肉的人，追逐敘事的人。外推性預期在實證上有大量直接證據——投資者調查顯示，人們對未來收益率的預期在市場高點時最高、在低點時最低，恰好與理性模型要求的方向相反。

這一點很要命：理性模型要求"估值高 → 預期收益低"，而問卷調查裏真實投資者的回答是"估值高 → 預期收益更高"。數據裏那個負責任的折現率，和人腦子裏的預期，符號是反的。

7.3 爲什麼這場爭論至今沒結束

這是本文必須誠實交代的地方：

觀測等價

兩派擬合的是同一條曲線。

理性派說：那條時變的折現率序列，是風險厭惡隨宏觀狀態的真實波動。行爲派說：那條一模一樣的序列，是情緒的波動。

在數據上，這兩種解釋給出的定價函數幾乎無法區分。 你觀察到的永遠只是價格，而"高折現率"到底是"理性地要求更多補償"還是"非理性地恐慌"，取決於你把哪一部分歸給效用函數、哪一部分歸給認知偏差——而效用函數是不可直接觀測的。

這就是爲什麼諾貝爾委員會在 2013 年把獎同時發給了立場相反的兩個人。他們不是在和稀泥：Fama 證明了短期價格不可預測（信息被迅速吸收），Shiller 證明了長期估值可預測（折現率會均值迴歸）。這兩件事都是對的，而且並不矛盾——它們只是在描述同一個系統的不同頻段。

八、同一件事的三張面孔

最後一塊拼圖來自 2013 年的第三位得主，Lars Peter Hansen。他的貢獻看起來和 Shiller 完全無關，其實是同一個事實的對偶形式。

8.1 三行推導

現代資產定價的核心方程只有一個：任何資產的超額收益 $R^e$ 滿足

\mathbb{E}\left[M R^e\right] = 0

其中 $M$ 是隨機折現因子（SDF），它代表人們在不同狀態下對未來一塊錢的估值——本質上是跨期邊際替代率。

展開這個期望：

\mathbb{E}[M]\,\mathbb{E}[R^e] + \operatorname{Cov}(M, R^e) = 0

移項，並用相關係數寫出協方差：

\mathbb{E}[R^e] = -\frac{\operatorname{Cov}(M,R^e)}{\mathbb{E}[M]} = -\rho_{M,R^e}\,\frac{\sigma(M)\,\sigma(R^e)}{\mathbb{E}[M]}

因爲 $\lvert\rho\rvert \le 1$ ，整理即得 Hansen-Jagannathan 界限：

\boxed{\ \frac{\sigma(M)}{\mathbb{E}[M]} \;\ge\; \frac{\lvert\mathbb{E}[R^e]\rvert}{\sigma(R^e)} = \text{夏普比率}\ }

市場上能實現的最高夏普比率，是折現因子波動率的下界。

8.2 代入數字，看看它要求什麼

美股長期年化夏普比率約 $0.45$ 。所以

\frac{\sigma(M)}{\mathbb{E}[M]} \ge 0.45

而在標準的 CRRA 效用下， $M = \beta\left(C_{t+1}/C_t\right)^{-\gamma}$ ，於是

\frac{\sigma(M)}{\mathbb{E}[M]} \approx \gamma \cdot \sigma\left(\Delta \ln C\right)

人均實際消費增長的年化波動率只有大約 $1.5\%$ 。所以

\gamma \ \ge\ \frac{0.45}{0.015} \approx 30

風險厭惡係數至少要 30。 而微觀層面的實驗與保險市場估計出來的 $\gamma$ 通常在 1 到 5 之間。

$\gamma = 30$ 有多離譜？給一個具體的換算——面對一個"一半概率漲 10%、一半概率跌 10%"的公平賭局，一個人願意付出多少財富來避開它：

$\gamma$	願意付出的財富比例
2	$1.00\%$
5	$2.43\%$
10	$4.42\%$
30	$\mathbf{7.83\%}$

一個 $\gamma = 30$ 的人，爲了躲開一個期望爲零、上下各 10% 的賭局，願意先交出接近 8% 的全部身家。這就是 Mehra 與 Prescott 在 1985 年提出的股權溢價之謎。

8.3 三個謎，一件事

現在把三樣東西放在一起：

從哪一側看	觀察到的異常	說的是同一件事
價格側（Shiller）	價格波動遠超現金流能解釋的幅度	折現率在劇烈變動
收益側（Mehra-Prescott）	股票的超額收益高得無法用消費風險解釋	折現率的平均水平高得離譜
算子側（Hansen-Jagannathan）	SDF 的波動率下界遠高於消費模型能產生的值	折現率的波動大得離譜

三個謎，三種語言，同一個事實：

把金融市場當成一臺讀取實體經濟產出波動的溫度計，這個想法從根本上是錯的。
實體經濟的現金流是一條平緩的曲線，而市場自身的風險定價機制，製造了遠超它的潮汐。

結語 · 樹欲靜而風不止

回到那張圖。

$P^*$ 那條線，是一百年裏美國企業真實創造並派發出來的財富——它平緩、遲鈍、幾乎不爲任何事情所動。那是樹。

$P$ 那條線，是同一段時間裏人們願意爲這些財富支付的價格——它劇烈、敏感、在樹的周圍來回擺盪了半個世紀。那是風。

三十年的研究最終確認的事情是：擺動的確實是風，不是樹。 估值倍數的每一次起伏，幾乎都對應着折現率的變化，而不是對未來盈利判斷的變化。

至於那陣風是什麼，答案取決於你站在哪一邊：

理性派說，它是真實的——衰退時人們承擔風險的能力真的變差了，要求更高的補償完全正當。行爲派說，它是情緒——同樣一批現金流，在貪婪時被抬到天上，在恐懼時被踩進泥裏。

而數據到今天爲止，仍然沒有辦法把這兩者分開。

也許這纔是這個謎真正的位置。它不是一道等待被解開的題，而是一面鏡子：當你說"市場跌了 30%"的時候，你以爲自己在陳述一個關於世界的事實，其實你陳述的是一個關於人的事實。

樹一直在那裏。動的從來是風。

參考資料

原始文獻：Shiller, R. J. (1981). Do Stock Prices Move Too Much to be Justified by Subsequent Changes in Dividends? American Economic Review, 71(3), 421–436；LeRoy, S. F., & Porter, R. D. (1981). The Present-Value Relation: Tests Based on Implied Variance Bounds. Econometrica, 49(3)
反方：Marsh, T. A., & Merton, R. C. (1986). Dividend Variability and Variance Bounds Tests for the Rationality of Stock Market Prices. American Economic Review, 76(3)；Kleidon, A. W. (1986). Variance Bounds Tests and Stock Price Valuation Models. Journal of Political Economy, 94(5)；Lintner, J. (1956). Distribution of Incomes of Corporations Among Dividends, Retained Earnings, and Taxes
終結與分解：Campbell, J. Y., & Shiller, R. J. (1988). The Dividend-Price Ratio and Expectations of Future Dividends and Discount Factors. Review of Financial Studies, 1(3)；Cochrane, J. H. (2011). Presidential Address: Discount Rates. Journal of Finance, 66(4)
兩派解釋：Campbell, J. Y., & Cochrane, J. H. (1999). By Force of Habit. Journal of Political Economy, 107(2)；Shiller, R. J. (2000). Irrational Exuberance；Greenwood, R., & Shleifer, A. (2014). Expectations of Returns and Expected Returns. Review of Financial Studies, 27(3)（投資者預期與理性模型符號相反的實證）
對偶與股權溢價：Hansen, L. P., & Jagannathan, R. (1991). Implications of Security Market Data for Models of Dynamic Economies. Journal of Political Economy, 99(2)；Mehra, R., & Prescott, E. C. (1985). The Equity Premium: A Puzzle. Journal of Monetary Economics, 15(2)
數據：Robert Shiller 的長期股價與股利數據集（Yale，1871 年至今）；諾貝爾獎委員會 2013 年科學背景說明《Understanding Asset Prices》

站內延伸閱讀：

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〈朝令夕改：當所有人都算準了你會反悔〉——同樣是理性預期框架下的一個反直覺結論：那篇講預期如何吞掉政策的效果，本文講預期如何吞掉估值的信息