VIX指数构造：如何在金融市场找基函数

引言:纪念 Peter Carr

相信大家对 VIX 指数并不陌生——又称恐慌指数(Fearness Gauge),用来对未来波动率做前瞻预测。股灾来临时 VIX 暴涨,被视作市场情绪最灵敏的温度计之一。但 VIX 从哪里来?CBOE 为什么在 2003 年用 VIX 取代了 VXO?它的数学灵魂是什么?它怎么对冲、怎么交易?这些问题,可能就没那么容易答上来了。

讲到 VIX,很多人会先想到 Derman,但真正让"模型无关的 VIX"(New VIX Formula)成为可能的,是 Peter Carr(Carr 于 2022 年离世)。他与 Madan 在 1998 年那篇 Towards a theory of volatility trading 论文里写下的那条拆解公式,是整座 VIX 大厦的地基。

本文不只讲"Carr-Madan 公式是什么",而是带你走完一整条链:

1. 先把 Carr-Madan 公式推清楚(为什么能用期权拼出任意非线性收益);
2. 代入对数合约,看它如何变成 VIX 的积分定义;
3. 揭开 VIX 的物理意义(它到底在拼什么?);
4. 走进 CBOE 的机房,看这个连续积分怎么变成你屏幕上的那个数字;
5. 罗列真正能交易的 VIX 家族产品;
6. 最后钻进做市商的算法里,看他们如何用静态+动态双轨对冲把波动率"提纯"成可交易的商品。

核心参考:Carr P., Madan D. Towards a theory of volatility trading. In Volatility: New estimation techniques for pricing derivatives, 1998, 29: 417–427.

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一、Carr-Madan 公式:用期权拼出任意非线性收益

1.1 公式形式

Carr-Madan 公式给出了一个令人震惊的结论:任何到期收益曲线 $g(S_T)$,只要二阶可导,都可以用一个标的现货/远期 + 无穷多个不同行权价的欧式看涨和看跌期权的线性组合,精确复制出来。

具体到到期日:

$$g(S_T) = g(F) + g'(F)(S_T - F) + \int_F^{\infty} (S_T - K)^+ \, g''(K)\,dK + \int_0^{F} (K - S_T)^+ \, g''(K)\,dK$$

其中 $S_T$ 是标的到期价格,$F$ 是远期价格,$g(\cdot)$ 是任意(二阶可导的)非线性收益函数。式子右边对应四块:

项	含义
$g(F)$	到期收益的基准
$g'(F)(S_T - F)$	用远期/期货表达的线性 Delta 部分
$\int_F^{\infty}(S_T-K)^+\,g''(K)\,dK$	一篮子看涨期权(行权价 $K > F$),权重 $g''(K)$
$\int_0^{F}(K-S_T)^+\,g''(K)\,dK$	一篮子看跌期权(行权价 $K < F$),权重 $g''(K)$

在风险中性测度 $Q$ 下取期望,并用 $p(S_t, K)$、$c(S_t, K)$ 记 Put/Call 的当前市价,$\tau = T - t$ 表示剩余时间,得到定价形式:

$$E^Q\!\left[g(S_T)\right] = g(F) + \int_0^{F} e^{r\tau} p(S_t, K)\, g''(K)\,dK + \int_F^{\infty} e^{r\tau} c(S_t, K)\, g''(K)\,dK$$

这意味着我们可以跳过模型设定(Black-Scholes、Heston、Jump-Diffusion 等),直接用市场上可见的期权报价,去给任意非线性 payoff 定价。这就是 VIX "model-free" 口号背后的数学。

1.2 直观:期权是金融界的 ReLU

如果你做过深度学习,可能会觉得眼熟。$\max(0, S_T - K)$ 和 $\max(0, K - S_T)$ 这两个 payoff,和 ReLU 函数 $\max(0, x - b)$ 是同一类东西——都是"带偏置的折线基函数"。

比喻:用折线拼曲线的建筑师

假设你是建筑师,要造一个形状特殊的弧形屋顶。市场上只有一种建材:一端平直、另一端以 45° 向上折起的木板——向右折就是 看涨期权,向左折就是 看跌期权。

只要你有足够多不同折点(行权价 $K$)的木板,把它们按特定比例 $g''(K)\,dK$ 叠在一起,就能拼出任何弧形屋顶。Carr-Madan 公式就是那张施工图纸。

深度学习里用无数 ReLU 叠成一个通用函数逼近器;衍生品市场里,Carr-Madan 说:用无数期权叠成一个通用 payoff 复制器。本质相同,只是成本一个是算力、一个是权利金。

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二、Carr-Madan 公式的推导

推导本身是带积分恒等式的泰勒展开。虽不长,但每一步都很关键。

2.1 用二阶导重写函数差

从微积分基本定理出发:

$$\begin{aligned} f(x) - f(a) &= \int_a^x f'(t)\,dt \\ &= \int_a^x \bigl[f'(a) + (f'(t) - f'(a))\bigr]\,dt \\ &= f'(a)(x-a) + \int_a^x \int_a^t f''(u)\,du\,dt. \end{aligned}$$

2.2 交换积分次序(Fubini)

注意那个双重积分的积分区域是 $\{(t, u): a \leq u \leq t \leq x\}$。交换 $t$ 和 $u$ 的次序:

$$\int_a^x \int_a^t f''(u)\,du\,dt = \int_a^x f''(u)\int_u^x dt\,du = \int_a^x f''(u)(x - u)\,du.$$

因此:

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \int_a^x f''(u)(x - u)\,du.$$

2.3 用 Heaviside 函数把 $(x-u)$ 拆成 $(x-u)^+$ 和 $(u-x)^+$

引入阶跃函数:

$$H(x) = \begin{cases} 1 & x > 0 \\ 0 & x \leq 0 \end{cases}, \qquad H(x) + H(-x) = 1.$$

利用 $H(x-a) + H(a-x) = 1$,可以把积分拆成上下两段,并把 $(x-u)$ 写成期权支付函数的形式。最终得到 Carr-Madan 公式的基本形式:

$$f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \int_a^{\infty} (x - u)^+ f''(u)\,du + \int_0^{a} (u - x)^+ f''(u)\,du.$$

将 $a \to F$、$x \to S_T$,就是 1.1 节开头那个形式。

为什么要这么拆?

关键在于 $(x - u)^+ = \max(x - u, 0)$ 恰好是一张执行价为 $u$ 的看涨期权在 $x$ 处的到期支付;$(u - x)^+$ 就是看跌期权。这样一拆,Carr-Madan 就从一个纯数学的泰勒恒等式,摇身一变成为可以直接对应市场工具的复制公式。这是整个推导里最漂亮的一步。

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三、代入对数合约:New VIX Formula 的基石

取 $g(S_T) = \ln\!\left(\dfrac{S_T}{S_0}\right)$(这就是所谓的对数合约,Log-Contract),则:

$$g'(S_T) = \frac{1}{S_T}, \qquad g''(S_T) = -\frac{1}{S_T^2}.$$

代入 Carr-Madan 公式并在风险中性测度下取期望,化简后:

$$\boxed{\; E^Q_t\!\left[\ln\!\frac{S_T}{S_0}\right] = \frac{F - S_0}{S_0} - \int_0^{S_0} e^{r\tau}\, p(S_t, K)\, \frac{1}{K^2}\,dK - \int_{S_0}^{\infty} e^{r\tau}\, c(S_t, K)\, \frac{1}{K^2}\,dK \;}$$

其中远期价格 $F = E^Q_t[S_T]$。

这条看似平淡的等式是 New VIX Formula 的真正起点——它把"对数收益的风险中性期望"完全表达成一篮子 Put + Call 的加权积分,权重是 $1/K^2$。到这里,我们还只看到了数学,还没看到它为什么能定义"恐慌"。那需要再走一步,搬出伊藤引理。

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四、VIX 的物理意义:一台波动率损耗收集器

4.1 算术与几何的裂缝 = 方差

先做一个小实验。你买了一个紧盯大盘的组合:

• 第 1 天涨 10%,第 2 天跌 10%。
• 算术平均回报:$(+10\% - 10\%)/2 = 0\%$。
• 真实的几何回报:$1.10 \times 0.90 = 0.99$,你亏了 1%。

这个 1% 的"缝"去哪了?它被市场的波动率损耗(Volatility Drag)吃掉了。路径震荡越剧烈,算术回报和几何回报之间的裂缝越大。

伊藤引理把这个直觉精确写成:

$$d(\ln S) = \frac{dS}{S} - \frac{1}{2}\sigma^2\,dt.$$

移项一下:

$$\boxed{\;\tfrac{1}{2}\sigma^2\,dt = \underbrace{\dfrac{dS}{S}}_{\text{$1/S_t$ 动态持仓的瞬时盈亏}} - \underbrace{d(\ln S)}_{\text{$-\ln$ 期权篮子的瞬时变化}}\;}$$

这条公式就是 VIX 的灵魂。它说:瞬时方差 = 标的动态对冲的瞬时盈亏 − 对数合约的瞬时变化。两个下标里分别写的是做市商会在对冲中真正用到的两件东西,后面第七节会具体落地。

4.2 VIX 到底"拼"的是什么

回看第三节的对数合约公式。VIX 拼的,正是上面等式右侧的 $\dfrac{dS}{S} - d(\ln S)$:

• $\dfrac{dS}{S}$ 是标的本身就能复制的——持仓 $\dfrac{1}{S_t}$ 份标的,每一瞬间的盈亏就是 $\dfrac{1}{S_t}\,dS = \dfrac{dS}{S}$。盈亏对当期 $dS$ 线性,根本不需要任何期权(注意:"线性"指的是对 $dS$ 的依赖是线性的,不是说 $1/S$ 作为 $S$ 的函数是线性的)。
• $d(\ln S)$ 是必须用期权才能复制的——它是第三节那个非线性 payoff $\ln(S_T/S_0)$ 随时间演化的瞬时形式,两者靠 $\ln(S_T/S_0) = \int_0^T d(\ln S_t)$ 连成一体。要把它拼出来,必须搬出 Carr-Madan 公式,用一揽子不同行权价的 Put 和 Call,按 $1/K^2$ 加权静态拼出来,持有到期。

当你把期权按 $1/K^2$ 的权重拼在一起时,你其实构造了一个非常特殊的金融容器:它被剥离了方向(Delta Neutral),只吸收震荡。无论大盘最终是涨是跌,只要中间剧烈颠簸过,这个组合就能源源不断地积累正收益。

比喻:汽车的减震器

这个对数合约组合就像汽车的减震器。车子往前开还是往后退(价格方向)不重要,只要路面颠簸(方差),减震器就把动能转成热能收下来。VIX 衡量的,就是未来 30 天这根"减震器"的预期工作量。

4.3 为什么是"恐慌"指数:非对称的深渊

对数函数 $\ln S$ 有个关键性质:当 $S$ 跌向 0,$\ln S \to -\infty$,极度向左倾斜。也就是说,下跌方向的曲率远大于上涨方向。

把这件事和 $1/K^2$ 权重放在一起:

• 股价在 100 附近跌到 50,需要的 Put 行权价 $K = 50$,权重 $1/2500$。
• 股价从 100 涨到 150,需要的 Call 行权价 $K = 150$,权重 $1/22500$。

下跌方向的权重,是对应上涨方向权重的约 9 倍。

这就解释了为什么 VIX 是恐慌指数的底层数学:市场越担心崩盘,越会疯狂买入深度虚值 Put(deep OTM puts)。这些 Put 的行权价极低,在 $1/K^2$ 权重下被急剧放大,一把拉高 VIX 读数。不是 VIX 在情绪化,是公式结构决定了它对"深渊风险"天然放大。

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五、从连续积分到 CBOE 的离散实作

5.1 离散化

Carr-Madan 公式里的是积分,但现实中期权的行权价是离散的(SPX 期权的行权价大概每 5 点一档)。CBOE 的做法很朴素——把积分换成加总:

$$\int \frac{1}{K^2}\, \text{Option}(K)\, dK \;\;\longrightarrow\;\; \sum_i \frac{\Delta K_i}{K_i^2}\, \text{Option}(K_i).$$

他们只选近月 + 次近月 SPX 期权,用几何加权插值出 30 天(实际是 30 天常数到期,constant 30-day maturity)的预期方差。

5.2 三道加工工序:从方差到屏幕上的数字

上面加总得到的是 30 天的方差,但屏幕上显示的 VIX = 20.5 并不是方差。从方差到 VIX,中间有三步:

步骤	做什么	为什么
1. 年化	除以时间 $T = 30/365$	方差要转成"年度化"口径,行业惯例
2. 开平方根	$\sigma^2 \to \sigma$	方差是"面积",波动率是"振幅",维度不同;标准差才和价格同量纲
3. 乘以 100	$0.20 \to 20$	把小数变成读起来顺口的点位

拼起来就是 CBOE 白皮书上那条"看起来很吓人"的公式的直观翻译:

$$\text{VIX} = 100 \times \sqrt{\frac{1}{T}\Bigl[\frac{2}{T}\sum_i \frac{\Delta K_i}{K_i^2}\, e^{r\tau}\, Q(K_i) - \Bigl(\frac{F}{K_0} - 1\Bigr)^{\!2}\,\Bigr]}\,.$$

其中 $Q(K_i)$ 是该行权价上(价外)期权的中间价,$K_0$ 是紧贴 $F$ 以下的那档行权价,最后那一项是"近 ATM 修正"(用来抵消 $F$ 和最近网格点 $K_0$ 之间的离散误差)。

翻译成一句话:VIX = 100 × √(年化 × ∑(权重 × 期权价)) = "华尔街愿意花多少钱去对冲未来 30 天的下行风险"。

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六、能交易的 VIX 家族产品

VIX 本身不是资产,是一个计算值——你不能直接"买入" VIX 指数,就像你不能直接买入 CPI。能交易的是一整家族围绕 VIX 构建的衍生品。

6.1 VIX 期货(VX)

• CBOE 交易代码:VX(完整)、VXM(迷你,1/10 规模)。
• 结算标的:到期日的 VIX Special Opening Quotation(SOQ)。
• 月度合约 + 周度合约:提供从 1 周到 9 个月不等的曲线。
• 期限结构:大部分时间 VIX 期货呈 contango(远期 > 现货),少数时间 backwardation(股灾中)。
• 用途:直接做多/做空未来某个日期的 VIX 预期值。

6.2 VIX 期权

• 标的:VIX 期货(不是 VIX 现货!)。这是个重要坑,很多人在这里算错 Greeks。
• 欧式行权,现金结算。
• 用于构造 VIX 上的凸性仓位(比如买入虚值 Call 博暴涨)。

6.3 ETF / ETN:散户的入场券

产品	方向	构造	特点
VXX(Barclays ETN)	做多	每日滚仓近月 + 次近月 VIX 期货	contango 下长期衰减严重,不适合持有
UVXY(ProShares ETF)	做多 1.5×	同上加杠杆	衰减更快,适合极短期投机
SVXY(ProShares ETF)	做空 0.5×	反向滚仓	2018 年 Volmageddon 后从 -1× 降为 -0.5×
VIXY	做多	类 VXX	跟踪 S&P 500 VIX 短期期货指数

VXX / UVXY 的结构性衰减

由于 VIX 期货大部分时间处于 contango,每日滚仓(卖出便宜的近月、买入贵的次近月)会产生负 roll yield——VXX 长期年化衰减常在 30%~60%。它们是短期对冲工具,不是长期持仓品种。

6.4 方差互换(Variance Swap)

机构的真正主战场。方差互换是一种 OTC 合约:

• 买方支付方差行权价 $K_{\text{var}}^2$(年化方差);
• 卖方支付到期实现方差 $\sigma_R^2$(由每日 log-return 平方累加而来)。
• 净 payoff $\propto \sigma_R^2 - K_{\text{var}}^2$。

Carr-Madan 公式最直接的应用就在这里——方差互换的定价就是第三节那个对数合约公式。方差互换让你不用通过期权、直接交易方差本身,是所有 VIX 产品在 OTC 世界的母形式。

6.5 波动率互换(Volatility Swap)

• 结算 $\sigma_R - K_{\text{vol}}$(实现波动率 vs 行权波动率)。
• 从数学上说,比方差互换更难静态复制(因为开根号是非线性的、不能直接由期权复制),做市商一般用"方差互换 + 凸性调整"来近似。

6.6 跨资产的波动率产品

• VSTOXX:欧洲 Euro Stoxx 50 的对应指数。
• VIX9D / VIX3M / VIX6M:不同期限的 CBOE 波动率指数。
• MOVE:美国国债市场的"债市 VIX"(由 BofA 计算)。
• BVIX / OVX / GVZ:比特币、原油、黄金等跨资产的 VIX。

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七、做市商如何对冲 VIX 敞口

这才是本文最硬核的部分。当客户买走一笔 VIX 期权或方差互换,做市商就短了方差。他们不能赌市场不涨不跌,必须想办法"制造"出方差来平这个敞口。

7.1 对冲的物理等式

把第四节那条灵魂公式再搬出来:

$$\tfrac{1}{2}\sigma^2\,dt = \frac{dS}{S} - d(\ln S).$$

• 等号左边是做市商欠客户的东西:瞬时方差。
• 右边第二项 $d(\ln S)$ 是对数合约的瞬时变化——对应第三节那个静态 payoff $\ln(S_T/S_0)$,可以用一揽子 $1/K^2$ 加权的 Put + Call 静态复制,买入后持有到期。
• 右边第一项 $\dfrac{dS}{S}$ 是标的动态持仓的瞬时盈亏——只要做市商每一瞬间持有 $\dfrac{1}{S_t}$ 份标的,那一瞬的盈亏就是 $\dfrac{1}{S_t}\,dS = \dfrac{dS}{S}$(对 $dS$ 线性,不需要任何期权)。

两项的累积值相加——Itô 积分 $\int_0^T \frac{dS_t}{S_t}$ 加上期权篮子到期价值——恰好等于这段时间内市场实际实现的方差。这就是所谓的"静态+动态双轨对冲"。

7.2 静态对冲:铺设期权底仓

做市商按 $1/K^2$ 权重,在各个行权价上买入一揽子 Put + Call,持有到期。

• 目的:锁定目标收益曲线的曲率(Gamma),即 $d(\ln S)$ 项。
• 特征:不动手、不调仓——所以叫"静态"。
• 残余风险:这个篮子本身有 Delta(对数函数是向左倾斜的),不是纯方差。

7.3 动态对冲:$1/S$ 持仓的自动网格

为了把残余的 Delta 剥掉,做市商在标的(SPX 期货、E-mini 等)上做动态对冲:始终持有数量等于 $1/S_t$ 的标的合约。

这条规则非常"物理":

• 价格跌:$S_t$ 变小,$1/S_t$ 变大 → 算法买入更多标的;
• 价格涨:$S_t$ 变大,$1/S_t$ 变小 → 算法卖出一部分标的。

这就是 Gamma Scalping——做市商在做自动化的"网格化逢低买、逢高卖"。市场震荡越剧烈,刮下来的现金流就越多。

7.4 双轨合力:两个具体算账

用两个简化到极致的两天例子,看看 $1/S$ 和 $-\ln(S)$ 是怎么互补的。初始 $S_0 = 100$。

场景 A:过山车式震荡(有波动、无趋势)

路径:$100 \to 120 \to 100$。

1. $1/S$ 动态对冲账户

时点	价格	持仓	动作	本期盈亏
第 0 天	100	$0.01$ 份	建仓	—
第 1 天	120	调至 $1/120 \approx 0.00833$ 份	逢高减仓	$0.01 \times (120-100) = +0.20$
第 2 天	100	平仓	—	$0.00833 \times (100-120) \approx -0.1667$

动态净收益 $\approx +0.0333$。

2. $-\ln(S)$ 静态期权底仓

到期 $S_2 = 100 = S_0$,$-\ln(100/100) = 0$。期权账户不赚不赔。

做市商总结:市场画了个圈、回到原点,期权底仓睡着了;但 $1/S$ 的网格动作刮下了 +0.0333 的纯震荡利润。

场景 B:单边崩盘(有趋势、无反弹)

路径:$100 \to 80$。

1. $1/S$ 动态对冲账户

时点	价格	持仓	动作	本期盈亏
第 0 天	100	$0.01$ 份	建仓	—
第 1 天	80	—	—	$0.01 \times (80-100) = -0.20$

动态净收益 $= -0.20$。由于 $1/S$ 永远是正持仓(多头),单边下跌直接挨打。

2. $-\ln(S)$ 静态期权底仓

$-\ln(80/100) = -\ln(0.8) \approx +0.2231$。

Put 篮子爆发,贡献 +0.2231 的正收益。

合计 $\approx -0.20 + 0.2231 = +0.0231$,仍是正的。那一堆按 $1/K^2$ 加权的深度 OTM Put,在市场下行时变成超级英雄,把 $1/S$ 方向性仓位挖的坑精准填平。

7.5 物理意义大一统

对冲分量	角色	在哪里赚钱	短板
$1/S$ 动态持仓	没方向感的震荡收集器	市场来回晃	单边趋势下挨打
$-\ln(S)$ 期权底仓(按 $1/K^2$)	精密的方向性保险;尤其是深度 OTM Put	资产剧烈偏离初始价	市场原地不动时没用

两者加起来,方向性风险被完全对消,剩下的就是纯粹的、无方向的"波动率本身"。这就是为什么做市商可以把 VIX、方差互换当作商品来报价——他们真的有一套算法,能把混沌的随机游走"提纯"出方差来。

7.6 波动率风险溢价(VRP)

做市商赚什么?他们赚的是 隐含波动率(IV)与实现波动率(RV)之差——即 Volatility Risk Premium, VRP。

• 客户买 VIX 产品 = 用 IV 支付 = 给做市商付保费;
• 做市商用 $1/S$ + Put 篮子做对冲 = 用 RV 支付客户 = 赔付实际发生的方差;
• IV 长期系统性高于 RV,差值就是 VRP。

这也解释了为什么长期做空波动率是赚钱的(SVXY 之类的策略),直到 Volmageddon(2018-02-05)那种尾部事件一次性把前几年的利润全部吐回去——卖保险的人,平时收保费,一次赔到破产。

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结语:从公式到交易的大一统

回到开头。Peter Carr 的贡献,不在"发明了一个公式",而在于他指出了一个深刻的观察:

期权是金融市场的一组完备基。任意非线性 payoff,都可以用这组基的线性组合精确展开。

• 这一观察让 VIX 从依赖模型的"估算",变成了模型无关的加权报价。
• 它让方差互换成为可以静态复制的产品,进而可以被大规模报价和做市。
• 它让做市商可以用 $1/S$ + $-\ln(S)$ 的双轨对冲,把"波动本身"从混沌的价格路径里提纯成可交易商品。

这是金融工程的暴力美学:你不需要预测市场的涨跌,也不需要假设它服从什么分布。你只需要一套严密的微分方程、一个有深度的期权市场,和不休息的执行系统,就能从随机游走中稳定地把"波动"变成现金流。

Carr 已经离开了。但每一次 VIX 暴涨,每一次做市商的 Gamma Scalping 自动触发,都是对他这个想法的又一次致敬。

再一次,膜拜 Prof. Carr。